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Medium 9788521625469

7 - Aplicações de Espaços Vetoriais Reais (Opcional)

KOLMAN, Bernard; HILL, David Ross Grupo Gen PDF

CAPÍTULO

7

APLICAÇÕES DE ESPAÇOS

VETORIAIS REAIS

(OPCIONAL)

7.1 FATORAÇÃO QR

Pré-requisito. Seção 6.8, Bases Ortonormais em Rn.

Na Seção 1.8, discutimos sobre a fatoração LU de uma matriz e mostramos como ela conduz a um método muito eficiente para a resolução de um sistema linear. Discutimos agora outro tipo de fatoração de uma matriz A, chamada fatoração QR de A. Esse tipo de fatoração

é muito utilizado em programas de computador para encontrar os autovalores de uma matriz (Capítulo 8), para resolver sistemas lineares e para encontrar as aproximações por mínimos quadrados (veja Seção 7.2 para ler a respeito de mínimos quadrados).

TEOREMA 7.1

Se A é uma matriz m ϫ n com colunas linearmente independentes, então A pode ser fatorada como A ϭ QR, onde Q é uma matriz m ϫ n cujas colunas formam uma base ortonormal para o espaço coluna de A e R é uma matriz n ϫ n triangular superior invertível.

Demonstração

Representamos por u1, u2, …, un as colunas linearmente independentes de A que formam uma base para o espaço coluna de A. Utilizando o processo de Gram–Schmidt (veja Teorema 6.18 da Seção 6.8), podemos obter uma base ortonormal w1, w2, …, wn para o espaço coluna de A. Lembre-se de como esta base ortonormal foi obtida. Primeiro, construímos uma base ortogonal v1, v2, …, vn como a seguir: v1 ϭ u1 e, então, para i ϭ 2, 3, …, n temos

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Medium 9788521633860

8 - Tópicos Adicionais em Trigonometria

YOUNG, Cynthia Y. Grupo Gen PDF

118 Capítulo 8

8

Tópicos Adicionais em Trigonometria

Norfolk, Virgínia

Bermuda

Bermuda

Oceano

Atlântico

Miami,

Flórida

Oceano

Atlântico

Santiago de Cuba

San Juan,

Porto Rico

Miami (Flórida), Bermuda, Porto Rico

Norfolk (Virgínia), Bermuda, Cuba

E

m décadas recentes, muitas pessoas passaram a acreditar que uma área imaginária conhecida como “Triângulo das

Bermudas”, localizada ao largo da costa Atlântica sudeste dos Estados Unidos, seja o local de uma alta incidência de desaparecimento de navios, pequenas embarcações e aviões ao longo dos séculos. O Conselho de Toponímia1 dos Estados Unidos (U.S. Board of Geographical Names) não reconhece o “Triângulo das Bermudas” como um nome oficial e não mantém um arquivo oficial sobre a área.

Suponha por enquanto, sem julgar os méritos da hipótese, que o “Triângulo das Bermudas” tenha vértices em Miami

(Flórida), San Juan (Porto Rico) e Bermuda, ou que ele tenha vértices em Norfolk (Virgínia), Bermuda e Santiago (Cuba).

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Medium 9788577808335

10 Formas Canônicas

Lipschutz, Seymour Grupo A PDF

Capítulo 10

Formas Canônicas

10.1 INTRODUÇÃO

Seja T um operador linear de um espaço vetorial de dimensão finita. Vimos no Capítulo 6 que T pode não ter uma representação matricial diagonal. Mesmo assim, ainda é possível “simplificar” a representação matricial de T de várias maneiras. É esse o principal assunto deste capítulo. Em particular, obteremos o teorema da decomposição primária e as formas canônicas triangulares, de Jordan e racional.

Observamos que as formas canônicas triangulares e de Jordan existem para um operador T se, e só se, o polinômio característico de T possuir todas as suas raízes no corpo base K. Isso sempre ocorre se K for o corpo dos complexos , mas pode não ser verdade se K for o corpo dos reais

Neste capítulo também introduzimos a ideia de espaço quociente, uma ferramenta muito poderosa que será utilizada na demonstração da existência das formas canônicas triangular e racional.

10.2 FORMA TRIANGULAR

Seja T um operador linear de um espaço vetorial V de dimensão n. Suponha que T possa ser representado pela matriz triangular

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Medium 9788580550733

6. Testes de hipóteses para uma única amostra

William Navidi Grupo A PDF

Capítulo

6

Testes de hipóteses para uma única amostra

Introdução

No Exemplo 5.4 (na Seção 5.2), uma amostra de 50 microfuradeiras tem um tempo de vida médio de X = 12,68 furos e um desvio padrão de s = 6,83. Vamos considerar que a questão de interesse é se o tempo de vida médio da população, μ, é maior do que 11. Abordamos essa questão examinado o valor da média amostral X. Vemos que X > 11, mas por causa da variação aleatória em X, isso não garante que μ > 11. Gostaríamos de saber como podemos estar certos de que μ > 11. Um intervalo de confiança não é o que precisamos. No Exemplo

5.4, um intervalo de confiança de 95% para a média populacional μ foi calculado como sendo (10,79; 14,57). Isso nos diz que temos uma confiança de 95% de que μ está entre

10,79 e 14,57, mas não nos diz diretamente como podemos estar confiantes de que μ > 11.

A declaração “μ > 11” é uma hipótese sobre a média populacional μ. Para determinar o quão certo podemos estar de que uma hipótese como essa é verdadeira, devemos realizar um teste de hipótese. Esse teste produz um número entre 0 e 1 que mede o grau de certeza que podemos ter na veracidade de uma hipótese. Acontece que os testes de hipóteses estão intimamente relacionados aos intervalos de confiança. Em geral, sempre que um intervalo de confiança pode ser calculado, um teste de hipótese pode ser realizado e vice-versa.

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Medium 9788521629405

1 Introdução

VARGAS, Francisco Javier Triveño; PAGLIONE, Pedro Grupo Gen PDF

Vargas — Prova 3 — 7/5/2015 — Maluhy&Co. — página 1

1

Introdução

Nas últimas décadas, muitas ferramentas de álgebra computacional vêm sendo desenvolvidas. A maioria destas ferramentas pode ser utilizada de maneira interativa, em que o usuário entra com algumas fórmulas ou comandos, o sistema avalia as mesmas e devolve uma resposta que, se necessário, pode ainda ser manipulada. Além de cálculos simbólicos exatos, estas ferramentas também obtêm soluções numéricas aproximadas, nas quais o usuário pode fixar o número de dígitos desejados. Sem dúvida, possuem recursos de programação poderosos, além de interfaces de visualização e animação de variáveis.

Entre as várias ferramentas computacionais, Mathematica TM e Matlab-Simulink são amplamente difundidas e empregadas pelo eficiente apoio que oferecem ao ensino da engenharia (Paláncz et al., ). Estas ferramentas permitem a visualização completa de todas as etapas de um processo, por exemplo: o processo ensino-aprendizagem permite ao estudante abordar problemas de elevado grau de dificuldade e aos engenheiros simplificar suas rotinas associadas a projetos reais ou teóricos. Pela sua versatilidade, estão sendo adotadas por várias indústrias de alta tecnologia.

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Medium 9788521614746

Capítulo 1 - Uma Introdução à Probabilidade

HINES, William W.; MONTGOMERY, Douglas C.; GOLDSMAN, Dave; BORROR, Connie M. Grupo Gen PDF

Capítulo

1

Uma Introdução à Probabilidade

1-1 INTRODUÇÃO

Os profissionais que trabalham com engenharia e ciências aplicadas estão, em geral, envolvidos tanto com a análise quanto com o planejamento de sistemas, nos quais as características dos componentes do sistema são não determinísticas. Assim, a compreensão e a utilização da probabilidade é essencial para a descrição, o planejamento e a análise de tais sistemas. São muitos os exemplos que refletem comportamento probabilístico e, de fato, comportamento verdadeiramente determinístico é raro. Para ilustrar, considere a descrição de uma variedade de medidas de qualidade de produto ou desempenho: a vida útil operacional de sistemas mecânicos e/ou eletrônicos; o padrão de falhas de equipamentos; a ocorrência de fenômenos naturais, tais como manchas solares ou tornados; contagens de partículas que emanam de uma fonte radiativa; tempos de percurso em operações de entrega; contagens de acidentes com veículos durante determinado dia em uma parte de uma auto-estrada; ou os tempos de espera de clientes em uma fila de banco.

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Medium 9788521622451

6 - Os espaços Rn

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF

6 n

OS ESPAÇOS ޒ

6.1. INTRODUÇÃO

Nosso objetivo, neste capítulo, é introduzir no ޒ2 os conceitos de norma e de conjunto aberto, que generalizam os conceitos de módulo e de intervalo aberto, e que serão fundamentais em tudo o que veremos a seguir. O símbolo ޒ2 está sendo usado aqui para indicar o conjunto de todos os pares ordenados de números reais:

ޒ2 ϭ {(x, y) | x, y reais}.

Para as interpretações geométricas e físicas será muito útil pensar um par ordenado (x, y) como um vetor do plano. Para isto, fixaremos no plano um sistema ortogonal de coordena⎯

⎯→ das cartesianas (o habitual) e identificaremos, então, o par (x, y) com o vetor OP, onde O é a origem do sistema e P o ponto de coordenadas (x, y). Esta identificação nos sugerirá como somar pares ordenados e como multiplicar um par ordenado por um escalar a partir das operações sobre vetores, que suporemos conhecidas.

O leitor não terá dificuldade alguma em generalizar os conceitos deste capítulo para o ޒn, n у 3, onde ޒn indica o conjunto de todas as n-uplas ordenadas (x1, x2, …, xn) de números reais.

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Medium 9788577801831

23 Convoluções e a Função Degrau Unitário

Bronson, Richard Grupo A PDF

CAPÍTULO 23 • CONVOLUÇÕES E A FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO

253

23.17 A equação a seguir é denominada uma equação integral de convolução.

Assumindo que a Transformada de Laplace de y(x) exista, resolvemos esta equação, e os próximos dois exemplos em relação a y(x).

Notemos que essa equação integral pode ser escrita como y(x) = x + y(x) ∗ sen x. Tomando a transformada de

Laplace dos membros e aplicando o Teorema 23.2, temos

Resolvendo em relação a

Isso implica que

{y} obtemos

, que é de fato a solução, como pode ser verificado por substituição direta:

23.18 Utilize Transformadas de Laplace para resolver a equação integral de convolução:

Aqui temos y(x) = 2 – y(x) ∗ ex. Prosseguindo como no Problema 23.17, obtemos

resultando em y(x) = 2 – 2x como a solução desejada.

23.19 Utilize Transformadas de Laplace para resolver a equação integral de convolução:

Notando que y(x) = x3 + 4 ∗ y(x), temos que como a solução.

, que resulta em

Problemas Complementares

23.20 Determine x ∗ x.

23.21 Determine 2 ∗ x.

2x

23.22 Determine 4x ∗ e .

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Medium 9788584290321

Capítulo 1 | Matemática e arte: uma conexão

Estela Kaufman Fainguelernt; Katia Regina Ashton Nunes Grupo A PDF

Matemática e arte: uma conexão

Existem dois tipos de espíritos matemáticos: uns lógicos e analistas, outros intuitivos e geômetras.

[ POINCARÉ ]

Fazendo Arte com Matematica-Miolo-que vale-INDESIGN5-FINAL.indd 15

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Matemática e arte: uma conexão

Sobre a necessidade da matemática e da arte

O exercício da Matemática e da Arte é uma atividade fundamental para o desenvolvimento integral do ser humano e, consequentemente, é essencial para a evolução da própria sociedade.

Ele possibilita ao cidadão sua inserção no mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura.

A vivência em arte tem-nos fornecido ferramentas para desenvolver a emoção, a sensibilidade e a compreensão para lidar com a vida como um todo. Por exemplo,

[...] o aluno que conhece arte pode estabelecer relações mais amplas quando estuda um determinado período histórico. Um aluno que exercita continuamente sua imaginação estará mais habilitado a construir um texto, a desenvolver estratégias pessoais para resolver um problema matemático.

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Medium 9788584290765

Capítulo 02 - Materiais didáticos manipulativos para o ensino de Figuras Planas

Katia Stocco Smole; Maria Ignez Diniz Grupo A PDF

Materiais didáticos manipulativos para o ensino de Figuras Planas

Espaço e Forma no Ensino Fundamental I

Até bem pouco tempo atrás, quando se falava do ensino de geometria nos anos iniciais, ela estava relacionada a atividades nas quais as crianças tinham apenas que reconhecer formas geométricas, tais como quadrado, retângulo, círculo e triângulo; o que se esperava dos alunos é que desenhassem ou pintassem as figuras e soubessem o nome de cada uma delas. Cabia ao Ensino Fundamental II, aí sim, estudar as figuras e suas propriedades, em um nível formal e com linguagem e representações mais elaboradas.

No entanto, no Brasil, desde as propostas curriculares estaduais dos anos 1980 e depois os Parâmetros Curriculares Nacionais de 1997, sabemos que a geometria nos anos iniciais tem grande importância e vai muito além disso, do identificar e nomear figuras.

As crianças nascem e vivem em um mundo de formas, o próprio corpo da criança pode ser entendido como seu primeiro espaço.

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Medium 9788565837736

Capítulo 3 - Funções e Algoritmos

Seymour Lipschutz; Marc Lipson Grupo A PDF

Capítulo 3

Funções e Algoritmos

3.1

INTRODUÇÃO

Um dos conceitos mais importantes em matemática é o de função. Os termos “mapa”, “mapeamento”, “transformação” e muitos outros significam a mesma coisa; a escolha sobre qual terminologia empregar em uma dada situação geralmente é determinada pela tradição e pela formação matemática de quem usa o termo.

O conceito de algoritmo está relacionado com a noção de função. A notação para a apresentação de um algoritmo e uma discussão sobre sua complexidade também são abordadas neste capítulo.

3.2

FUNÇÕES

Suponha que a cada elemento de um conjunto A assinalamos um único elemento de um conjunto B; a coleção de tais correspondências é chamada de função de A em B. O conjunto A é denominado domínio da função e o conjunto B é chamado de conjunto alvo ou codomínio.

Funções são comumente denotadas por símbolos. Por exemplo, seja f uma função de A em B. Então escrevemos f:A→B que se lê: “f é uma função de A em B”, ou “f leva (ou mapeia) A em B”. Se a ∈ A, então f (a) (lê-se: “f de a”) denota o único elemento de B que f associa a a; ele é chamado de imagem de a sob f, ou o valor de f em a. O conjunto de todas as imagens é conhecido como a imagem de f. A imagem de f : A → B é denotada por Im(f) ou f(A).

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Medium 9788582603161

Capítulo 1. Noções de lógica matemática

Diana Maia de Lima; Luis Eduardo Fernandes Gonzalez Grupo A PDF

capítulo 1

Noções de lógica matemática

De acordo com as Diretrizes Curriculares do MEC para Cursos de Computação e

Informática, “[...] a lógica matemática é uma ferramenta fundamental na definição de conceitos computacionais.” (BRASIL, [1999], p. 7). De fato, para desenvolver qualquer algoritmo e, consequentemente, qualquer software computacional, são necessários conhecimentos básicos de lógica. Ainda, resolver problemas computacionais requer o conhecimento de operadores e expressões aritméticas, operadores lógicos e relacionais, e sistemas numéricos. Neste capítulo, abordamos esses conteúdos, relacionando sua aplicação na informática em desenvolvimento de programas e algoritmos, em soluções de armazenamento de informações para otimização de memória principal e secundária e em medições e distribuição de processamento e memória em sistemas distribuídos.

Bases

Científicas

Bases

Tecnológicas

Expectativas de

Aprendizagem

Operadores e expressões aritméticas

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Medium 9788521631880

Respostas dos Exercícios Selecionados

HOLT, Jeffrey Grupo Gen PDF

|RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SELECIONADOS|

Capítulo 1

63. 298 adultos e 87 crianças.

Seção 1.1

1. Só o ponto (−3, −3) pertence à reta.

3. Só o ponto (−2, 5) pertence às duas retas.

5. Nenhum dos pontos satisfaz o sistema linear.

7. Só (b), (c) e (d) são soluções do sistema linear.

69. A altura pode ser coberta com 11 moedas de R$ 1,00 e a largura pode ser coberta com 6 moedas de R$ 1,00 e 2 moedas de R$ 0,25.

Segundo essas medidas, o diâmetro da moeda de R$ 1,00 é de 2,7 cm e o da moeda de R$ 0,25 é de 2,4 cm.

9. x1 = 3, x2 = −1.

15. Em forma escalonada; variáveis líderes: x1 e x2; não tem variáveis livres.

Seção 1.2

17. Em forma escalonada; variáveis líderes: x1 e x3; variável livre: x2.

19. Não está em forma escalonada.

21. Em forma escalonada; variáveis líderes: x1 e x3; variáveis livres: x2 e x4.

5. Está em forma escalonada.

7. Não está em forma escalonada.

9. Está em forma escalonada.

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Medium 9788521631965

14 - Introdução à Regressão Múltipla

LEVINE, David M.; STEPHAN, David F.; SZABAT, Kathryn A. Grupo Gen PDF

Capítulo

14

Introdução à Regressão

Múltipla

UTILIZANDO A ESTATÍSTICA: Os

Múltiplos Efeitos das Barras OmniPower

14.1 Desenvolvendo um Modelo de

Regressão Múltipla

Interpretando os Coeficientes da

Regressão

Prevendo a Variável Dependente Y

14.2 r 2, r 2 Ajustado e o Teste F Geral

Coeficiente de Determinação Múltipla r 2 Ajustado

Teste para a Significância do Modelo de Regressão Múltipla Geral

14.3 Análise de Resíduos para o Modelo de Regressão Múltipla

14.5 Testando Partes do Modelo de

Regressão Múltipla

Coeficientes de Determinação Parcial

14.6 Utilizando Variáveis Binárias

(Dummy) e Termos de Interação em

Modelos de Regressão

Variáveis Binárias (Dummy)

Interações

14.7 Regressão Logística

UTILIZANDO A ESTATÍSTICA: Os

Múltiplos Efeitos das Barras OmniPower,

Revisitado

GUIA DO EXCEL PARA O CAPÍTULO 14

14.4 Inferências Relacionadas com os

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Medium 9788582603208

Capítulo 6 - Função Racional

Adriana Miorelli Adami; Adalberto Ayjara Dornelles Filho; Magda Mantovani Lorandi Grupo A PDF

Capítulo

6

Função Racional

Neste capítulo, estudaremos as funções racionais, assim chamadas pois suas expressões algébricas são definidas pela razão (divisão) entre dois polinômios.

6.1 Definição e principais características

Definição 6.1 Uma função racional é dada por

onde p e q são funções polinomiais, com q(x) ≠ 0.

Por exemplo, as funções dadas por

(6.1) são exemplos de funções racionais. A Figura 6.1 mostra os gráficos dessas funções.

O domínio de uma função racional consiste de todos os valores de x para os quais q(x) ≠ 0. Por exemplo, o domínio da função f consiste de todos valores reais de x, exceto x = 4 e x = –4.

Os zeros de uma função racional consistem de todos os valores de x no seu domínio para os quais p(x) = 0. Por exemplo, o zero da função g é x = 0.

Exemplo 6.1 Determine o domínio e os zeros (se existirem) das funções racionais dadas em (6.1).

Solução: O domínio da função f é Dom(f) = R –{±4}, já que q(x) = 0 se x = ±4. A função f não tem zeros.

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